背景
丈夫，日本人，持L1签证被日本某大学公派到其在美国的独立研究所工作，任所长。其工资由日本支付，大部分在日本发放，小部分转到研究所发放，因此在美国有工资单。签证到明年5月到期。但是因故要到今年3月30卸职回日本。
妻子，台湾护照，持L2签证，明前5月到期，现在准备到ucla作访问学者，转为J1签证。且预定了今年4月25日从加拿大去阿拉斯加的油轮。（丈夫此时已经回日本）
问题
要是在3月30妻子的j1签证还未到手，他还可以合法呆在美国吗。（有人认为隐瞒丈夫已经卸任回国的事实，架设L1签证继续有效，但是他担心已经没有工资证明。）他的油轮旅游如何办。
若是违法，它给以现在去墨西哥签证马，去以前还要先申请墨西哥的签证马。
问题好像被我到的很复杂，请专家指点，谢谢