朝霞满天2021-08-08 09:02:16

 

 

 

先分析一下前面的归纳法证明。我们先随便选定一个红眼人,下面就是他的思维方式:假如我的眼睛不是红的,那么其余的人就都知道,剩下的群体中一定有红眼人,这样他就可以利用归纳法假设了,而这恰恰是证明的重中之重。以k=1为例,如果没有外乡人的披露,这个假设是不成立的。也就是说,没有外乡人的公开披露,归纳法的证明就有漏洞,红眼人就不可能知道自己眼睛的颜色,就能一直岁月静好。

 

为此先介绍一下个体知识和群体知识。

 

个体知识就是单一个体所知的事实,他自己知道这件事,但他不知道别人是否也知道这件事。比如,在皇帝的新衣里,起先每个个体都知道皇帝赤身裸体没穿衣服,但并不知道别人是否知道。因此皇帝没穿衣服这件事就是个体知识。

 

什么是群体知识呢?就是在某个群体里大家都知道的知识。因为群体有大小,所以群体知识的精确定义依赖于群体的大小。为了明确起见,如果某群体有N个人,他们的群体知识就是N-阶群体知识。所以也可以说,个体知识就是1-阶群体知识,是一种退化情形的群体知识。

 

假如群体里有两个人,分别是AB,他们都分别知道某件事P,但又都不知道对方是否也知道P,或者至少有一人不知道对方也知道P,这时P就只是个体知识,还没有形成他们的群体知识。

 

 先看看下面的细节。

 

(1)A知道P

(2):  B知道PB还知道A也知道P

 

很明显,B知道的比A知道的更多更深刻。所以我们说A知道的是关于P1-阶知识。B知道的比A知道的更深一层,是关于P2-阶知识。如果A还同时也知道B知道P,那么P就成了他们之间的2-阶群体知识了。所以P是由{A,B}组成的2-阶群体知识应该满足以下两个条件:(1): A知道PB也知道P(2): A知道B知道PB也知道A知道P

 

如果C不光知道P,他还知道B知道A知道P,则C关于P的知识是3-阶知识。就是说,C知道的比B知道的更进一层。一般说来,在一个N-阶群体中,某个体关于P的知识最多可以到达N-阶。

 

回到2-阶群体。如何能够让P成为他们的2-阶群体知识呢?比如AB说:我告诉你一个秘密,就是事件P。这时不管原先知不知道P,现在P都成了他们二人间的2-阶群体知识。因为他们各自都知道了P,并且都知道对方也知道P。当然也可以让第三方当着他们的面公开宣布P,或者以公告形式确保二人都知道,P也就成了他们的2-阶群体知识了。

 

如果我们弄清楚了(N-1)-阶群体知识,就可以用递归的方式弄清楚N-阶群体知识了。一个N-阶群体有N个个体,也有N个不同的(N-1)-阶子群体。一个知识要成为N-阶群体知识,它必须满足两个条件:它必须是所有N(N-1)-阶子群体的群体知识,并且每个其他个体都知道它是所有N(N-1)-阶子群体的群体知识。比如一个3-阶群体有三个个体ABC,也有三个2-阶群体{A,B}{A,C}{B,C}。由{A,B,C}组成的3-阶群体知识P就必须也是3个二阶子群体的2-阶群体知识,而且每个个体都知道P3个二阶子群体的2-阶群体知识。比方说,A知道P{B,C}2-阶群体知识,B知道P{A,C}2-阶群体知识,知道P{A,B}2-阶群体知识。自然,A更知道P{A,B}2-阶群体知识和{A,C}2-阶群体知识了,等等。

 

所以我们再重复一下:P是一个N-阶群体知识必须同时满足以下两个条件:(1)它是所有N(N-1)-阶群体的群体知识,(2)所有的个体都知道(1)。

 

如何让一个个体知识变成群体知识呢?最简单的方法就是当着整个群体的面公开宣布这一知识,这样就变成了群体知识了。如果不能当众宣布,而只能彼此之间电话告知,而且一次电话只能传递一个信息,如何能够通过次数最少的电话传递使得P成为群体知识,就是一个比较复杂的数学问题了。

 

群体知识最重要的一点就是每个个体都知道别人也知道。打个通俗一点的比方:在下棋的时候,水平低的棋手都知道自己的意图是什么,而不知道对手的意图是什么,水平高的棋手不光知道自己的意图是什么,而且还知道对手的意图是什么。群体知识的重要性就在于大家都知道大家都知道,个个都是棋逢对手的高手。

 

 

弄清了个体知识和群体知识,就明白了最初的逻辑问题。外乡人到底有没有传递新的信息?

 

有!

 

是的,一开始每个岛民的确都知道岛上至少有99个红眼睛的人,但那都只是个体知识。外乡人传递的却是群体知识。如果外乡人不是当众宣布,而是逐一对各位耳语,就完全不同了。外乡人对岛民逐一耳语说:你们当中有红眼睛的人。这只能传递个体知识,没法变成群体知识。当众说出来才构成群体知识,这就是为什么外乡人公开说出的一句话威力如此巨大,杀伤力如此之强。这在皇帝的新衣里也有体现。由于骗子的骗术高明,虽然人人都看见了皇帝的丑态,但都担心可能是自己的问题,因为骗子事先已声明:笨蛋才看不见。只有当一个天真的小孩大声喊出来,个体知识才变成了群体知识。

 

群体知识的威力,是个体知识无法比拟的!




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